Mathe am 13.03.2024

Noten sind nächste Woche
es gibt anscheinend nächste Woche ein Fußballturnier
Quarto -> Tabelle auf S. 185 in drawio mit benötigten Schritten

windschieffe Schnittpunkte

S. 187 Nr. 3c)

\(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\); \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \neq t*\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\)

\(g=h\)
\(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\)

\(I: t=4+2s\)
\(II: 1=2+s\)
\(III: 1+t=4+s\)

\(II: 1=2+s \mid-2\)
\(-1=s\)

\(I: t=4-2=2\)

\(III: 1+2=4-1\)
\(3=3\) ➔ heißt es gibt einen Schnittpunkt

\(s\) in Gleichung g einsetzen:
\(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}-1\times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) oder eher (2|1|3) (als Punkt)

HA: Nr. 4 bis morgen (14.03.2024)

Skalarprodukt

\(\neq\) Vektorprodukt

Beispiel:

\(\vec{a}=\begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ 6 \end{pmatrix}\vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{a}\times \vec{b}=7\times 0+11\times 7+6\times 2\)
\(=23\) ➔ Produkt ist ein Skalarprodukt

2. Beispiel:

\(\vec{a}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{a}\times \vec{b}=\left( -1\right) \times 0+\left( -4\right) \times 11+7 \times (-2)\)
\(=0-44-14\)
\(=(-58)\)

Orthogonale Vektoren

\(\vec{a}\times\vec{b}=0\)
➔ \(\vec{a}\) ist senkrecht zu \(\vec{b}\)

Beispiel:

\(\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\vec{b}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Wie überprüft man ob Geraden orthogonal sind?
man multipliziert die Richtungsvektoren

S. 190 Nr. 1a)

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\times\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\); \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\times \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}^{x}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}=(-5)\times(-2)+1\times2+0\times0\)
\(=-10+2\)
\(=-8\)