Mathe Hausaufgabe für den 14.03.2024

S. 187 Nr. 4

a)

für die Gerade \(g\) brauchen wir:

• Richtungsvektor = \(\vec{PF}=F-P=\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
  • \(P=A-D:2=(-3|0|0)\)
• Stützvektor = \(\vec{AP}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
  

Also: \(\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\times\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)

für die Gerade \(h\) brauchen wir:

• Richtungsvektor = \(\vec{QR}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1,5 \\ 0,4 \\ 2,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,5 \\ 4,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}\)
  • Punkt zwischen C und D = R = \(\vec{DC}=\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\)
  • \(\vec{DC}/2=R=\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}:2=(0|4|0)\) - Punkt zwischen A und E = Q = \(\vec{AE}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}:2=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}:2=\begin{pmatrix} -1,5 \\ 0,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}=(-1,5|0,5|2,5)=Q\)
• Stützvektor = \(\vec{AQ}=\begin{pmatrix} -1,5 \\ 0,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}\)
  

Also: \(\begin{pmatrix} -1,5 \\ 0,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}+s\times \begin{pmatrix} 1,5 \\ 4,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}\)

Letztlich errechnen wir, ob beide zueinander windschief sind:

1. Parallelität: \(r\times \begin{pmatrix} 1,5 \\ 4,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
2. \(\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\times \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} 1,5 \\ 4,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}+5\times \begin{pmatrix} 1,5 \\ 4.5 \\ 2,5 \end{pmatrix}\)

b)

1. Länge von \(\vec{PF}=\sqrt{0^{2}+6^{2}+5^{2}}=43\)
2. Länge von \(\vec{QR}=\sqrt{1,5^{2}+4,5^{2}+2,5^{2}}\simeq 5.362\)