Ein Vektor wie \(\vec{t}=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}\) sieht wiefolgt aus:
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
t = np.array([2, 4, 6])
ax.quiver(0, 0, 0, t[0], t[1], t[2])
ax.set_xlim([0, 10])
ax.set_ylim([0, 10])
ax.set_zlim([0, 10])
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()
oder in 2D (heißt der Vektor ist jetzt \(\vec{t} = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)):
import matplotlib.pyplot as plt
vector = (2, 4)
plt.quiver(0, 0, vector[0], vector[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1)
plt.xlim(-1, 3)
plt.ylim(-1, 5)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.grid()
plt.show()
und hat sowohl eine Richtung als auch einen Betrag.
Sie können außerdem theoretisch unendlich viele Dimensionen haben.
Sie haben sowohl eine Richtung als auch einen Betrag, welcher wie folgt errechnet wird: \[\vec{v} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\] Was in unserem Fall folgendes heißt: \(\sqrt{2^2+4^2+6^2}=7,48\)
Vektoren zu addieren ist denkbar einfach, wie hier: \[\begin{bmatrix}4\\-1\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\2\\-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\1\\-2\end{bmatrix}\] Wie vielleicht zu erkennen ist, werden jediglich die Werte der selbigen Dimensionen addiert, was heißt: \[\begin{bmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_2\\y_2\\z_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_3\\y_3\\z_3\end{bmatrix}\]
import matplotlib.pyplot as plt
vector1 = (4, -1)
vector2 = (3, 2)
added_vector = (vector1[0] + vector2[0], vector1[1] + vector2[1])
plt.quiver(0, 0, vector1[0], vector1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Vector 1')
plt.quiver(0, 0, vector2[0], vector2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Vector 2')
plt.quiver(0, 0, added_vector[0], added_vector[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Added Vector')
# Pointing from vec1 to added_vector
plt.quiver(vector1[0], vector1[1], added_vector[0] - vector1[0], added_vector[1] - vector1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='black', linestyle='dashed')
# Pointing from vec2 to added_vector
plt.quiver(vector2[0], vector2[1], added_vector[0] - vector2[0], added_vector[1] - vector2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='black', linestyle='dashed')
plt.scatter(0, 0, color='black', label='Origin')
plt.xlim(-1, 8)
plt.ylim(-2, 5)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
Subtraktion von Vektoren ist praktisch identisch zur Addition
Um diese Art der Multiplikation zu verstehen muss der Begriff Skalar verstanden werden, der einfach nur heißt:
Zahl welche mit Vektoren verrechnet wird und kein Vektor ist
Als Beispiel nehme ich jetzt mal \(\vec{a}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\) und \(\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}*2=\begin{bmatrix}4\\4\end{bmatrix}\)
Also: \[\vec{v} = \begin{bmatrix} x_1\\y_1 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} * t = \begin{bmatrix}x_1*t\\y_1*t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}\]
import matplotlib.pyplot as plt
vector = (2, 2)
multiplied_vector = (vector[0] * 2, vector[1] * 2)
plt.quiver(0, 0, vector[0], vector[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original Vector')
plt.quiver(0, 0, multiplied_vector[0], multiplied_vector[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Multiplied Vector')
plt.xlim(-1, 5)
plt.ylim(-1, 5)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
Mit Vektoren können Geraden ähnlich wie mit der “normalen” Formel \(t(x) = mx+n\) berechnet werden.
Nur ist die Formel hier \(x = \vec{p} + r * \vec{u}\)
Hier ein Beispiel für einen Vektor der eine Gerade bestimmt: \(g: \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} + t * \begin{bmatrix}2 \\ 2\end{bmatrix}\)
Jede andere Zahl als hier als Skalar für \(t\) einsetzbar, und würde die gerade \(g\) berühren, und somit kann theoretisch jeder Punkt ermittelt werden.
