Integrale
Was sind Integrale?
Die Integralrechnung ist ein Zweig der Infinitesimalrechnung, der zusammen mit der Differentialrechnung die mathematische Analysis bildet. Sie ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien oder Flächen begrenzt sind.
Unter dem Oberbegriff Integral werden das unbestimmte und das bestimmte Integral einer Funktion zusammengefasst. Hier sind die wichtigsten Aspekte:
- Unbestimmtes Integral: Eine Funktion F ist eine Stammfunktion der Funktion f, wenn ihre Ableitung F’ genau die ursprüngliche Funktion f ist. Das unbestimmte Integral wird verwendet, um Stammfunktionen zu finden.
- Bestimmtes Integral: Das bestimmte Integral einer Funktion f ergibt eine Zahl. Es gibt den Inhalt der Fläche an, die im Intervall zwischen dem Graphen von f und der x-Achse liegt. Die Integrationsgrenzen a und b definieren den Bereich.
Wie werden Integrale gebildet?
Ein Beispiel eines Integrals ist \(\int_{-1}^{1} (2x + 1)dx\), welcher folgendes aussagt:
Der Bereich von dem wir den Flächeninhalt wollen ist -1 bis 1 und die Formel der Funktion ist \(f(x)=2x+1\).
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
\[ \int_{a}^{b} f(x)t=F(b)-F(a) \]
- \(F(x)\) ist die Stammfunktion der Funktion \(f(x)\).
- \(F(x)\) ist somit \(f(x)\) hochgeleitet (heißt umgekehrtes Ableiten)
Beispiel des Haupsatzes der Integralrechnung
\(\int_0^4 x^2 dx\)
\(f(x)=x^2\)
\(F(x) = \frac{1}{3} * x^3\)
\(F(4) - F(0) = 21,\overline{3} + 0 = 21,\overline{3}\)
- oder das Ergebnis in einer anderen schreibweise: \(f(x) = x^2; [0;4]; F(x)=\frac{1}{3}x^3\)